Symbolická metoda pro výpočet střídavých obvodů
Symbolická metoda operací s vektorovými veličinami je založena na velmi jednoduché myšlence: každý vektor je rozložen na dvě složky: jednu vodorovnou, procházející podél úsečky, a druhou, svislou, procházející podél ordináty. V tomto případě všechny vodorovné složky sledují přímku a lze je sčítat jednoduchým algebraickým sčítáním a svislé složky se sčítají stejným způsobem.
Tento přístup má obecně za následek dvě výsledné složky, horizontální a vertikální, které k sobě vždy přiléhají ve stejném úhlu 90°.
Tyto komponenty lze použít k nalezení výsledku, tedy ke geometrickému sčítání. Pravoúhlé složky představují nohy pravoúhlého trojúhelníku a jejich geometrický součet představuje přeponu.
Můžete také říci, že geometrický součet je číselně roven úhlopříčce rovnoběžníku postaveného na součástech i na jeho stranách... Pokud je horizontální složka označena AG a vertikální složka AB, pak geometrický součet ( 1)
Najít geometrický součet pravoúhlých trojúhelníků je mnohem snazší než trojúhelníky šikmé. Je snadné vidět, že (2)
se změní na (1), pokud je úhel mezi součástmi 90°. Protože cos 90 = 0, poslední člen v radikálním výrazu (2) zmizí, v důsledku čehož je výraz značně zjednodušen. Všimněte si, že před slovo „součet“ je třeba přidat jedno ze tří slov: „aritmetický“, „algebraický“, „geometrický“.
Obr. 1.
Slovo „částka“ bez upřesnění vede k nejistotě a v některých případech k hrubým chybám.
Připomeňme, že výsledný vektor se rovná aritmetickému součtu vektorů v případě, že všechny vektory jdou po přímce (nebo rovnoběžně) ve stejném směru. Všechny vektory mají navíc znaménko plus (obr. 1, a).
Jestliže vektory jdou po přímce, ale směřují opačnými směry, pak se jejich výsledek rovná algebraickému součtu vektorů, v takovém případě mají některé členy znaménko plus a jiné znaménko mínus.
Například ve schématu na Obr. 1, b U6 = U4 — U5. Můžeme také říci, že aritmetický součet se používá v případech, kdy je úhel mezi vektory nulový, algebraický, když jsou úhly 0 a 180°. Ve všech ostatních případech se sčítání provádí vektorově, to znamená, že je určen geometrický součet (obr. 1, c).
Příklad... Určete parametry ekvivalentní sinusovky pro obvod Obr. 2, ale symbolické.
Odpovědět. Nakreslíme vektory Um1 Um2 a rozložíme je na složky. Z výkresu je vidět, že každá vodorovná složka je vektorová hodnota vynásobená kosinusem fázového úhlu a svislá je vektorová hodnota vynásobená sinem fázového úhlu. Pak
Obr. 2.
Je zřejmé, že celková horizontální a vertikální složka se rovná algebraickým součtům odpovídajících složek. Pak
Výsledné komponenty jsou znázorněny na Obr. 2, b. Určete k tomu hodnotu Um, vypočítejte geometrický součet dvou složek:
Určete ekvivalentní fázový úhel ψeq. Obr. 2, b, je vidět, že poměr vertikální a horizontální složky je tangens ekvivalentního fázového úhlu.
kde
Takto získaná sinusoida má amplitudu 22,4 V, počáteční fázi 33,5° se stejnou periodou jako komponenty. Všimněte si, že lze přidat pouze sinusové vlny stejné frekvence, protože při přidání sinusových křivek různých frekvencí výsledná křivka přestává být sinusová a všechny koncepty použitelné pouze pro harmonické signály se v tomto případě stávají neplatnými.
Podívejme se ještě jednou na celý řetězec transformací, které je třeba provést pomocí matematických popisů harmonických průběhů při provádění různých výpočtů.
Nejprve jsou časové funkce nahrazeny vektorovými obrázky, poté je každý vektor rozložen na dvě vzájemně kolmé složky, dále jsou samostatně vypočteny horizontální a vertikální složky a nakonec jsou určeny hodnoty výsledného vektoru a jeho počáteční fáze.
Tento způsob výpočtu eliminuje potřebu graficky sčítat (a v některých případech provádět složitější operace, např. násobit, dělit, extrahovat kořeny atd.) sinusové křivky a uchýlit se k výpočtům pomocí vzorců šikmých trojúhelníků.
Počítat odděleně horizontální a vertikální složky operace je však poněkud těžkopádné.Při takových výpočtech je velmi vhodné mít takový matematický aparát, se kterým můžete počítat obě složky najednou.
Již na konci minulého století byla vyvinuta metoda, která umožňuje současné výpočty čísel vynesených na vzájemně kolmých osách. Čísla na vodorovné ose se nazývala reálná a čísla na svislé ose se nazývala imaginární. Při výpočtu těchto čísel se k reálným číslům přičte faktor ± 1 a k imaginárním číslům ± j (čti „xi“). Volají se čísla skládající se z reálné a imaginární části komplex, a způsob výpočtů prováděných s jejich pomocí je symbolický.
Vysvětleme si pojem „symbolický“. Funkce, které se mají vypočítat (v tomto případě harmonické), jsou originály a výrazy, které originály nahrazují, jsou obrázky nebo symboly.
Při použití symbolické metody se všechny výpočty neprovádějí na samotných originálech, ale na jejich symbolech (obrázcích), které v našem případě představují odpovídající komplexní čísla, protože je mnohem jednodušší provádět operace s obrázky než s originály samotnými.
Po dokončení všech obrazových operací se na výsledný obraz zaznamená originál odpovídající výslednému obrazu. Většina výpočtů v elektrických obvodech se provádí pomocí symbolické metody.