Proč se pro výpočty ve střídavých obvodech používají komplexní čísla

Jak víte, komplexní čísla se používají k řešení některých typických problémů v elektrotechnice. K čemu ale slouží a proč se to dělá? To je to, co se pokusíme pochopit v průběhu tohoto článku. Faktem je, že komplexní metoda nebo metoda komplexních amplitud je vhodná pro výpočet složitých střídavých obvodů. A na začátek si připomeňme některé základy matematiky:

Jak vidíte, komplexní číslo z zahrnuje imaginární část a reálnou část, které se od sebe liší a jsou v textu odlišně označeny. Samotné komplexní číslo z lze zapsat v algebraické, trigonometrické nebo exponenciální formě:

Historické pozadí

Předpokládá se, že myšlenka imaginárních čísel začala v roce 1545, kdy italský matematik, inženýr, filozof, lékař a astrolog Girolamo Cardano publikoval tuto metodu řešení rovnic ve svém pojednání „Velké umění“, kde mimo jiné , přiznal, že Niccolò mu dal nápad Tartagliovi (italskému matematikovi) 6 let před vydáním této práce. Kradano ve své práci řeší rovnice tvaru:

V procesu řešení těchto rovnic byl vědec nucen připustit existenci jakéhosi „nereálního“ čísla, jehož druhá mocnina bude rovna mínus jedné „-1“, tedy jako by existovala druhá odmocnina z a záporné číslo, a pokud je nyní na druhou, ukáže se jako odpovídající záporné číslo pod odmocninou. Cardano uvedl pravidlo násobení, podle kterého:

Po tři staletí byla matematická komunita v procesu zvykání si na nový přístup navržený Cardano. Imaginární čísla postupně zapouštějí kořeny, ale matematici se zdráhají akceptovat. Teprve po vydání Gaussových prací o algebře, kde dokázal základní větu algebry, byla komplexní čísla konečně plně přijata, 19. století bylo na dosah ruky.

Imaginární čísla se stala skutečným zachráncem pro matematiky, protože nejsložitější problémy bylo mnohem snazší řešit přijetím existence imaginárních čísel.

Brzy tedy došlo na elektrotechniku. Obvody střídavého proudu byly někdy velmi složité a k jejich výpočtu bylo třeba vypočítat mnoho integrálů, což bylo často velmi nepohodlné.

Konečně v roce 1893 vystoupil geniální elektrotechnik Carl August Steinmetz v Chicagu na Mezinárodním elektrotechnickém kongresu se zprávou „Komplexní čísla a jejich aplikace v elektrotechnice“, která vlastně znamenala počátek praktické aplikace inženýrů komplexní metody tzv. výpočet elektrických obvodů pro střídavý proud.

Známe to z kurzu fyziky střídavý proud — jedná se o proud, který se v čase mění jak ve velikosti, tak ve směru.

V technice existují různé formy střídavého proudu, ale nejrozšířenější je dnes střídavý sinusový proud, ten se všude používá, pomocí kterého se přenáší elektřina ve formě střídavého proudu, který vzniká, přeměňuje transformátory a je spotřebován zátěží. Sinusový proud se periodicky mění podle sinusového (harmonického) zákona.

Efektivní hodnoty proudu a napětí jsou menší než hodnoty amplitudy odmocniny dvou časů:

V komplexní metodě jsou efektivní hodnoty proudů a napětí zapsány takto:

Všimněte si, že v elektrotechnice se pomyslná jednotka označuje písmenem «j», protože zde se pro označení proudu již používá písmeno «i».

Z Ohmův zákon určuje komplexní hodnotu odporu:

Sčítání a odčítání komplexních hodnot se provádí v algebraické formě a násobení a dělení v exponenciální formě.

Zvažme metodu komplexních amplitud na příkladu konkrétního obvodu s určitými hodnotami hlavních parametrů.

Příklad řešení úlohy pomocí komplexních čísel

Vzhledem k tomu:

• napětí cívky 50 V,

• odpor odporu 25 Ohm,

• indukčnost cívky 500 mH,

• elektrická kapacita kondenzátoru je 30 mikrofaradů,

• odpor cívky 10 Ohm,

• frekvence sítě 50 Hz.

Najděte: hodnoty ampérmetru a voltmetru a také wattmetr.

Odpovědět:

Nejprve si zapíšeme komplexní odpor sériově zapojených prvků, který se skládá z reálné a imaginární části, poté najdeme komplexní odpor aktivního indukčního prvku.

Vzpomínání! Chcete-li získat exponenciální tvar, najděte modul z rovný druhé odmocnině součtu druhých mocnin reálné a imaginární části a fí rovný arktangensu podílu imaginární části děleném reálnou částí.

Poté najdeme proud a podle toho i hodnoty ampérmetru:

Takže ampérmetr ukazuje proud 0,317 A — to je proud skrz celý sériový obvod.

Nyní najdeme kapacitní odpor kondenzátoru, poté určíme jeho komplexní odpor:

Poté vypočítáme celkovou komplexní impedanci tohoto obvodu:

Nyní najdeme efektivní napětí aplikované na obvod:

Voltmetr ukáže efektivní napětí 19,5 V.

Nakonec najdeme výkon, který bude wattmetr zobrazovat s přihlédnutím k fázovému rozdílu mezi proudem a napětím

Wattmetr ukáže 3,51 wattu.

Nyní chápete, jak důležitá jsou komplexní čísla v elektrotechnice. Používají se pro pohodlný výpočet elektrických obvodů. Mnoho elektronických měřicích zařízení pracuje na stejném základě.