Proudění a cirkulace vektorového pole

NZaloženo na přednáškových materiálech Richarda Feynmana

Při popisu zákonů elektřiny z hlediska vektorových polí se setkáváme se dvěma matematicky důležitými vlastnostmi vektorového pole: tokem a cirkulací. Bylo by hezké pochopit, co tyto matematické pojmy jsou a jaký je jejich praktický význam.

Na druhou část otázky je snadné odpovědět hned, protože jádrem jsou pojmy proudění a cirkulace Maxwellovy rovnice, na kterém vlastně celá moderní elektrodynamika spočívá.

Takže například zákon elektromagnetické indukce lze formulovat následovně: cirkulace elektrického pole E podél uzavřené smyčky C se rovná rychlosti změny toku magnetického pole B povrchem S ohraničeným tímto smyčka B.

V následujícím textu popíšeme zcela jednoduše, za použití jasných příkladů kapalin, jak se matematicky určují charakteristiky pole, z čehož jsou tyto charakteristiky pole převzaty a získány.

Vektorové pole toku

Pro začátek nakreslete kolem zkoumané oblasti určitou uzavřenou plochu zcela libovolného tvaru. Po zobrazení této plochy se ptáme, zda předmět zkoumání, kterému říkáme pole, protéká touto uzavřenou plochou. Abyste pochopili, o co jde, zvažte jednoduchý kapalný příklad.

Řekněme, že zkoumáme rychlostní pole určité tekutiny. Pro takový příklad má smysl se ptát: projde tímto povrchem za jednotku času více tekutiny, než proteče do objemu ohraničeného tímto povrchem? Jinými slovy, je rychlost odtoku vždy směrována primárně zevnitř ven?

Výrazem "tok vektorového pole" (a pro náš příklad bude přesnější výraz "rychlostní tok tekutiny") se dohodneme na pojmenování celkového množství imaginární tekutiny, které proteče povrchem uvažovaného objemu ohraničeného daným a uzavřený povrch (pro rychlost průtoku tekutiny, kolik tekutiny plyne z objemu za jednotku času).

V důsledku toho se tok povrchovým prvkem bude rovnat součinu plochy povrchového prvku kolmou složkou rychlosti. Potom se celkový (celkový) tok po celém povrchu bude rovnat součinu průměrné normálové složky rychlosti, kterou budeme počítat zevnitř ven, celkovým povrchem.

Nyní zpět k elektrickému poli. Elektrické pole samozřejmě nelze považovat za rychlost proudění nějaké kapaliny, ale jsme oprávněni zavést matematický pojem proudění, podobný tomu, který jsme popsali výše jako proudění rychlosti kapaliny.

Pouze v případě elektrického pole lze jeho tok určit průměrnou normálovou složkou intenzity elektrického pole E. Kromě toho lze tok elektrického pole určit ne nutně uzavřeným povrchem, ale jakýmkoli ohraničeným povrchem. nenulové oblasti S .

Oběh vektorového pole

Každému je dobře známo, že pro větší názornost lze pole znázornit ve formě tzv. siločar, v jejichž každém bodě se směr tečny shoduje se směrem intenzity pole.

Vraťme se k analogii tekutiny a představme si rychlostní pole tekutiny Položme si otázku: cirkuluje tekutina? Čili pohybuje se primárně směrem k nějaké pomyslné uzavřené smyčce?

Pro větší názornost si představte, že se kapalina ve velké nádobě nějak pohybuje (obr. A) a my jsme najednou zmrazili téměř celý její objem, ale podařilo se nám ponechat objem nezmražený v podobě rovnoměrně uzavřené trubice, ve které není tření kapaliny o stěny (obr. b).

Mimo tuto trubici se kapalina změnila na led, a proto se již nemůže pohybovat, ale uvnitř trubice je kapalina schopna pokračovat ve svém pohybu za předpokladu, že převládá hybnost, která ji pohání například ve směru hodinových ručiček (obr. °C). Pak součin rychlosti tekutiny v trubici a délky trubky budeme nazývat cirkulace rychlosti tekutiny.

Podobně můžeme definovat cirkulaci pro vektorové pole, i když opět o poli nelze říci, že je to rychlost čehokoli, přesto můžeme definovat matematickou charakteristiku „cirkulace“ po vrstevnici.

Takže cirkulaci vektorového pole podél pomyslné uzavřené smyčky lze definovat jako součin průměrné tečné složky vektoru ve směru průchodu smyčky — délkou smyčky.