Maxwellovy rovnice pro elektromagnetické pole — základní zákony elektrodynamiky

Systém Maxwellových rovnic vděčí za svůj název a vzhled Jamesi Clerku Maxwellovi, který tyto rovnice formuloval a napsal na konci 19. století.

Maxwell James Clark (1831-1879) je slavný britský fyzik a matematik, profesor na University of Cambridge v Anglii.

Prakticky spojil ve svých rovnicích všechny tehdy získané experimentální výsledky na elektřině a magnetismu a dal zákonům elektromagnetismu jasnou matematickou podobu. Základní zákony elektrodynamiky (Maxwellovy rovnice) byly formulovány v roce 1873.

Maxwell rozvinul Faradayovu doktrínu elektromagnetického pole do koherentní matematické teorie, z níž vyplývá možnost šíření vln elektromagnetických procesů. Ukázalo se, že rychlost šíření elektromagnetických procesů se rovná rychlosti světla (jehož hodnota byla známa již z experimentů).

Tato náhoda posloužila Maxwellovi jako základ k vyjádření myšlenky společné povahy elektromagnetických a světelných jevů, tzn. o elektromagnetické povaze světla.

Teorie elektromagnetických jevů, vytvořená Jamesem Maxwellem, našla své první potvrzení v experimentech Hertze, který jako první získal elektromagnetické vlny.

V důsledku toho tyto rovnice hrály důležitou roli při vytváření přesných reprezentací klasické elektrodynamiky. Maxwellovy rovnice mohou být zapsány v diferenciální nebo integrální formě. V praxi suchým jazykem matematiky popisují elektromagnetické pole a jeho vztah k elektrickým nábojům a proudům ve vakuu a v spojitých médiích. K těmto rovnicím můžete přidat výraz pro Lorentzovu sílu, v tom případě dostaneme kompletní systém rovnic klasické elektrodynamiky.

Abychom porozuměli některým matematickým symbolům používaným v diferenciálních formách Maxwellových rovnic, definujme nejprve takovou zajímavou věc, jako je operátor nabla.

Operátor Nabla (nebo operátor Hamilton) Je vektorový diferenciální operátor, jehož složky jsou parciální derivace s ohledem na souřadnice. Pro náš reálný prostor, který je trojrozměrný, je vhodný pravoúhlý souřadnicový systém, pro který je operátor nabla definován takto:

kde i, ja k jsou jednotkové souřadnicové vektory

Operátor nabla, když je aplikován na pole nějakým matematickým způsobem, dává tři možné kombinace. Tyto kombinace se nazývají:

Spád — vektor, jehož směr udává směr největšího nárůstu určité veličiny, jehož hodnota se mění z jednoho bodu v prostoru do druhého (skalární pole) a co do velikosti (modulu) se rovná rychlosti růstu tohoto množství v tomto směru.

Divergence (divergence) — diferenciální operátor, který mapuje vektorové pole na skalární (to znamená, že v důsledku použití operace diferenciace na vektorové pole se získá skalární pole), který určuje (pro každý bod) „jak moc pole vstupuje a opustí malé okolí daného bodu diverguje “, přesněji jak rozdílné jsou přítoky a odtoky.

Rotor (vír, rotace) je vektorový diferenciální operátor nad vektorovým polem.

Nyní uvažujte rovně Maxwellovy rovnice v integrálním (vlevo) a diferenciálním (vpravo) tvaruobsahující základní zákony elektrických a magnetických polí, včetně elektromagnetické indukce.

Integrální forma: cirkulace vektoru intenzity elektrického pole podél libovolné uzavřené smyčky je přímo úměrná rychlosti změny magnetického toku oblastí ohraničenou touto smyčkou.

Diferenciální forma: každá změna magnetického pole vytváří vířivé elektrické pole úměrné rychlosti změny indukce magnetického pole.

Fyzikální význam: jakákoli změna magnetického pole v průběhu času způsobuje vznik vířivého elektrického pole.

Integrální tvar: indukční tok magnetického pole libovolným uzavřeným povrchem je nulový. To znamená, že v přírodě neexistují žádné magnetické náboje.

Diferenciální forma: tok siločar indukce magnetického pole o nekonečném elementárním objemu je roven nule, protože pole je vířivé.

Fyzikální význam: v přírodě neexistují zdroje magnetického pole ve formě magnetických nábojů.

Integrální forma: cirkulace vektoru síly magnetického pole podél libovolné uzavřené smyčky je přímo úměrná celkovému proudu procházejícímu povrchem pokrytým touto smyčkou.

Diferenciální forma: Vířivé magnetické pole existuje kolem jakéhokoli vodiče s proudem a kolem jakéhokoli střídavého elektrického pole.

Fyzikální význam: tok vodivého proudu dráty a změny elektrického pole s časem vedou ke vzniku vířivého magnetického pole.

Integrální forma: tok vektoru elektrostatické indukce libovolným uzavřeným povrchem, který obklopuje náboje, je přímo úměrný celkovému náboji umístěnému uvnitř tohoto povrchu.

Diferenciální forma: tok indukčního vektoru elektrostatického pole z nekonečného elementárního objemu je přímo úměrný celkovému náboji v tomto objemu.

Fyzikální význam: zdrojem elektrického pole je elektrický náboj.

Systém těchto rovnic lze doplnit o soustavu tzv. materiálových rovnic, které charakterizují vlastnosti hmotného prostředí vyplňujícího prostor: