Jak sestrojit vektorový diagram proudů a napětí
Vektorové diagramy jsou metodou grafického výpočtu napětí a proudů ve střídavých obvodech, kde se střídavé napětí a proudy symbolicky (konvenčně) zobrazují pomocí vektorů.
Metoda je založena na skutečnosti, že jakákoli veličina, která se mění podle sinusového zákona (viz — sinusové oscilace), lze definovat jako projekci do zvoleného směru vektoru rotujícího kolem svého počátečního bodu úhlovou rychlostí rovnou úhlové frekvenci oscilace indikované proměnné.
Proto jakékoli střídavé napětí (nebo střídavý proud), které se mění podle sinusového zákona, může být reprezentováno pomocí takového vektoru rotujícího s úhlovou rychlostí rovnou úhlové frekvenci zobrazeného proudu a délkou vektoru v určitém rozsahu. stupnice představuje amplitudu napětí a úhel představuje počáteční fázi tohoto napětí...
S ohledem na elektrický obvod, skládající se ze sériově zapojeného zdroje střídavého proudu, rezistoru, indukčnosti a kondenzátoru, kde U je okamžitá hodnota střídavého napětí a i je proud v aktuálním okamžiku a U se mění podle sinusoidy (kosinus ) zákona, pak pro proud můžeme napsat:
Podle zákona zachování náboje má proud v obvodu vždy stejnou hodnotu. Proto napětí klesne na každém prvku: UR – přes aktivní odpor, UC – přes kondenzátor a UL – přes indukčnost. Podle Druhé Kirchhoffovo pravidlo, napětí zdroje se bude rovnat součtu úbytků napětí na prvcích obvodu a máme právo psát:
všimněte si toho podle Ohmova zákona: I = U / R, a pak U = I * R. Pro činný odpor je hodnota R určena výhradně vlastnostmi vodiče, nezávisí ani na proudu, ani na časovém okamžiku, proto je proud je ve fázi s napětím a můžete napsat:
Ale kondenzátor ve střídavém obvodu má jalový kapacitní odpor a napětí kondenzátoru se vždy zpožďuje ve fázi s proudem o Pi/2, pak píšeme:
cívka, induktivní, v obvodu střídavého proudu působí jako indukční odpor reaktance a napětí na cívce je kdykoli před fázovým proudem o Pi /2, proto pro cívku píšeme:
Nyní můžete napsat součet úbytků napětí, ale v obecné podobě pro napětí aplikované na obvod můžete napsat:
Je vidět, že dochází k určitému fázovému posunu spojenému s reaktivní složkou celkového odporu obvodu, když jím protéká střídavý proud.
Protože se v obvodech střídavého proudu mění proud i napětí podle kosinusového zákona a okamžité hodnoty se liší pouze ve fázi, přišli fyzici v matematických výpočtech na nápad považovat proudy a napětí v obvodech střídavého proudu za vektory, protože goniometrické funkce lze popsat vektory. Zapišme tedy napětí jako vektory:
Metodou vektorových diagramů lze odvodit např. Ohmův zákon pro daný sériový obvod za podmínek protékajícího střídavého proudu.
Podle zákona zachování elektrického náboje je proud ve všech částech daného obvodu v každém okamžiku stejný, proto nechme stranou vektory proudů, sestrojme vektorový diagram proudů:
Nechť je vykreslen proud Im ve směru osy X — hodnota amplitudy proudu v obvodu. Napětí aktivního odporu je ve fázi s proudem, to znamená, že tyto vektory budou společně směřovat, odložíme je z jednoho bodu.
Napětí v kondenzátoru zaostává Pi / 2 proudu, proto jej umístíme v pravém úhlu dolů, kolmo k vektoru napětí na činném odporu.
Napětí cívky je před proudem Pi/2, umístíme jej tedy kolmo nahoru, kolmo k vektoru napětí na činném odporu. Řekněme pro náš příklad UL > UC.
Protože máme co do činění s vektorovou rovnicí, sečteme vektory napětí na reaktivních prvcích a získáme rozdíl. V našem příkladu (předpokládali jsme UL > UC) bude směřovat nahoru.
Nyní přičteme vektor napětí k aktivnímu odporu a dostaneme podle pravidla sčítání vektoru celkový vektor napětí. Protože jsme vzali maximální hodnoty, dostaneme vektor hodnoty amplitudy celkového napětí.
Protože se proud změnil podle kosinového zákona, změnilo se také napětí podle kosinového zákona, ale s fázovým posunem. Mezi proudem a napětím je konstantní fázový posun.
Pojďme nahrávat Ohmův zákon pro celkový odpor Z (impedance):
Z vektorových obrázků podle Pythagorovy věty můžeme napsat:
Po elementárních transformacích získáme výraz pro impedanci Z obvodu střídavého proudu složeného z R, C a L:
Pak dostaneme výraz pro Ohmův zákon pro střídavý obvod:
Všimněte si, že nejvyšší hodnota proudu je získána v obvodu rezonance za podmínek, kdy:
Kosinus phi z našich geometrických konstrukcí vyplývá:
