Základy a zákony algebry logiky
Irský matematik poloviny 19. století George Bull vyvinul algebru logiky ("Studium zákonů myšlení"). Proto se také nazývá algebra logiky booleovská algebra.
Tím, že algebra logiky dává písmenná označení, vyjadřuje operace logických transformací v akčních symbolech a používá pravidla a axiomy stanovené pro tyto akce, umožňuje, aby byl proces uvažování při řešení problému daného z hlediska logiky příkazů plně popsán v algoritmech. , tedy mít matematicky napsaný program řešící tento problém.
K označení pravdivosti nebo nepravdivosti výroků (to znamená k zavedení hodnot pro hodnocení výroků) používá algebra logiky binární systém, v tomto případě vhodný. Pokud je výrok pravdivý, nabývá hodnoty 1, pokud je nepravdivý, nabývá hodnoty 0. Na rozdíl od binárních čísel logické jedničky a 0 nevyjadřují veličinu, ale stav.
Takže v elektrických obvodech popsaných pomocí Booleovy algebry, kde 1 je přítomnost napětí a 0 je jeho nepřítomnost, je dodávka napětí z několika zdrojů do jednoho uzlu obvodu (to znamená příchod několika jeho logických jednotek). také ukazuje jako logickou jednotku, která neindikuje celkové napětí v uzlu, ale pouze jeho přítomnost.
Při popisu vstupních a výstupních signálů logických obvodů se používají proměnné, které nabývají hodnot pouze logické 0 nebo 1. Zjišťuje se závislost výstupních signálů na vstupu logická operace (funkce)… Vstupní proměnné označme X1 a X2 a výstup získaný logickou operací s nimi y.
Promyslet si to tři základní elementární logické operace, s jejichž pomocí lze popsat ty stále složitější.
1. Operace OR — logické sčítání:
Vzhledem ke všem možným hodnotám proměnných lze operaci OR definovat jako dostatek alespoň jedné jednotky na vstupu k vytvoření jednotky na výstupu. Název operace je vysvětlen sémantickým významem spojení OR ve frázi: «Pokud je OR jeden vstup NEBO druhý je jeden, pak výstup je jeden.»
2. Operace AND — logické násobení:
Z uvážení celé sady hodnot proměnných je operace AND definována jako potřeba porovnat všechny jedničky na vstupech, aby se na výstupu dostala jednička: „Pokud je AND jeden vstup a druhý jedničky, pak výstup je jeden. «
3. Operace NOT — logická negace nebo inverze. Je to indikováno pruhem nad proměnnou.
Při obrácení je hodnota proměnné obrácená.
Základní zákony logické algebry:
1. Zákon nulové množiny: součin libovolného počtu proměnných zmizí, pokud je některá z proměnných nula, bez ohledu na hodnoty ostatních proměnných:
2. Zákon univerzální množiny — součet libovolného počtu proměnných se stane jedničkou, pokud má alespoň jedna z proměnných hodnotu jedna, bez ohledu na ostatní proměnné:
3. Zákon opakování — opakované proměnné ve výrazu lze vynechat (jinými slovy, v booleovské algebře nedochází k umocňování a násobení číselným koeficientem):
4. Zákon dvojité inverze — dvakrát provedená inverze je prázdná operace:
5. Zákon komplementarity — součin každé proměnné a její inverzní je nula:
6. Součet každé proměnné a její reciproční hodnoty je jedna:
7. Ochranné zákony — výsledek operací násobení a sčítání nezávisí na pořadí, ve kterém proměnné následují:
8. Kombinované zákony — během operací násobení a sčítání lze proměnné seskupovat v libovolném pořadí:
9. Distribuční zákony — je povoleno umístit celkový koeficient mimo závorky:
10. Zákony absorpce — uveďte způsoby, jak zjednodušit výrazy zahrnující proměnnou ve všech faktorech a termínech:
11. De Morganovy zákony — inverze součinu je součtem inverzí proměnných:
inverze součtu je součinem inverzí proměnných:
