Algebra kontaktních obvodů, Booleovská algebra

Analytický záznam struktury a provozních podmínek reléových obvodů umožňuje provádět analytické ekvivalentní transformace obvodů, tj. transformací strukturních vzorců, nalezením schémat podobných jejich fungování. Konverzní metody jsou zvláště plně vyvinuty pro strukturní vzorce vyjadřující kontaktní obvody.

Pro kontaktní obvody se používá matematický aparát algebry logiky, přesněji jedna z jeho nejjednodušších variant, zvaná propoziční počet nebo Booleova algebra (podle matematika minulého století J. Boolea).

Výrokový počet byl původně vyvinut ke studiu závislosti (pravdivosti nebo nepravdivosti složitých soudů o pravdivosti či nepravdivosti jednoduchých výroků, které je skládají. Výrokový počet je v podstatě algebra dvou čísel, tedy algebra v kde každý jednotlivý argument a každá funkce může mít jednu ze dvou hodnot.

To určuje možnost použití Booleovy algebry k transformaci kontaktních obvodů, protože každý z argumentů (kontaktů) zahrnutých ve strukturním vzorci může nabývat pouze dvou hodnot, to znamená, že může být uzavřený nebo otevřený a celá funkce reprezentovaná strukturou vzorec může vyjadřovat uzavřenou nebo otevřenou smyčku.

Booleovská algebra zavádí:

1) objekty, které jako v běžné algebře mají jména: nezávislé proměnné a funkce — avšak na rozdíl od běžné algebry mohou v Booleově algebře oba nabývat pouze dvou hodnot: 0 a 1;

2) základní logické operace:

• logické sčítání (nebo disjunkce, logické OR, označované znaménkem ?), které je definováno následovně: výsledek operace je 0 právě tehdy, když jsou všechny argumenty operace rovny 0, jinak je výsledek 1;

• logické násobení (nebo zřetězení, logické AND, značí se ?, nebo není uvedeno vůbec), které je definováno takto: výsledek operace je 1 právě tehdy, když jsou všechny argumenty operace rovny 1, jinak výsledek je 0;

• negace (nebo naopak logické NE, označené pruhem nad argumentem), která je definována následovně: výsledek operace má opačnou hodnotu argumentu;

3) axiomy (zákony Booleovy algebry), které definují pravidla pro transformaci logických výrazů.

Všimněte si, že každou z logických operací lze provádět jak s proměnnými, tak s funkcemi, které budou dále nazývány booleovské funkce... Připomeňme, že analogicky s běžnou algebrou má v booleovské algebře operace logického násobení přednost před logickým operace sčítání.

Booleovské výrazy jsou tvořeny kombinací logických operací na řadě objektů (proměnných nebo funkcí), nazývaných argumenty operace.

Transformace logických výrazů pomocí zákonů Booleovy algebry se obvykle provádí s cílem minimalizace, protože čím jednodušší výraz, tím menší je složitost logického řetězce, kterým je technická realizace logického výrazu.

Zákony Booleovy algebry jsou prezentovány jako soubor axiomů a důsledků. Ty lze zkontrolovat zcela jednoduše nahrazením různých hodnot proměnných.

Technickou obdobou libovolného logického výrazu pro booleovskou funkci je logické schéma... V tomto případě jsou proměnné, na kterých závisí booleovská funkce, připojeny k externím vstupům tohoto obvodu, hodnota booleovské funkce se tvoří na externí výstup obvodu a každá logická operace v logickém výrazu je implementována logickým prvkem.

Pro každou sadu vstupních signálů na výstupu logického obvodu je tedy generován signál, který odpovídá hodnotě booleovské funkce této sady proměnných (dále budeme používat následující konvenci: 0 — nízká úroveň signálu , 1 — vysoká úroveň signálu).

Při konstrukci logických obvodů budeme předpokládat, že proměnné jsou přiváděny na vstup v kódu parafáze (to znamená, že jsou k dispozici přímé i inverzní hodnoty proměnných).

Tabulka 1 ukazuje konvenční grafická označení některých logických prvků v souladu s GOST 2.743-91, stejně jako jejich zahraniční protějšky.

Kromě prvků, které provádějí tři operace Booleovy algebry (AND, OR, NOT), v tab. 1 ukazuje prvky, které provádějí operace odvozené od hlavního:

— AND -NOT — negace logického násobení, nazývaná také Schaeferův pohyb (označeno |)

— NEBO – NE – negace logického doplňku, nazývaná také Peirceova šipka (označená ?)

Sériovým propojením logických hradel můžete implementovat jakoukoli booleovskou funkci.

Strukturní vzorce vyjadřující reléové obvody obecně, tedy obsahující symboly reagujících orlů, nelze považovat za funkce dvou hodnot vyjadřujících pouze uzavřený nebo otevřený obvod. Při práci s takovými funkcemi proto vzniká řada nových závislostí, které přesahují limity Booleovy algebry.

V Booleově algebře existují čtyři páry základních zákonů: dvě posunutí, dvě kombinatorické, dvě distributivní a dvě zákonné inverze. Tyto zákony zakládají ekvivalenci různých výrazů, to znamená, že berou v úvahu výrazy, které lze vzájemně nahradit, jako je substituce identit v běžné algebře. Jako symbol ekvivalence bereme symbol, který je stejný jako symbol rovnosti v běžné algebře (=).

Platnost zákonů Booleovy algebry pro kontaktní obvody bude stanovena uvažováním obvodů odpovídajících levé a pravé straně ekvivalentních výrazů.

Cestovní zákony

Chcete-li přidat: x + y = y + x

Schémata odpovídající těmto výrazům jsou znázorněna na Obr. 1, a.

Levý a pravý obvod jsou normálně otevřené obvody, z nichž každý se sepne, když je spuštěn jeden z prvků (X nebo Y), to znamená, že tyto obvody jsou ekvivalentní. Pro násobení: x ·y = y ·NS.

Schémata odpovídající těmto výrazům jsou znázorněna na Obr. 1b, je také zřejmá jejich ekvivalence.

Rýže. 1

Zákony kombinace

Pro sčítání: (x + y) + z = x + (y + z)

Pro násobení: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Dvojice ekvivalentních obvodů odpovídajících těmto výrazům jsou znázorněny na Obr. 2, a, b

Rýže. 2

Distribuční zákony

Násobení versus sčítání: (x + y) +z = x + (y + z)

Sčítání vs násobení. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Schémata odpovídající těmto výrazům jsou znázorněna na Obr. 3, a, b.

Rýže. 3.

Ekvivalenci těchto schémat lze snadno ověřit zvážením různých kombinací ovládání kontaktu.

Zákony inverze

Při sčítání: NS + c = NS·c

Pruh nad levou stranou výrazu je znak negace nebo inverze. Toto znaménko znamená, že celá funkce má opačný význam vzhledem k výrazu pod znaménkem negace. Není možné nakreslit diagram odpovídající celé inverzní funkci, ale lze nakreslit diagram odpovídající výrazu pod záporným znaménkem. Vzorec lze tedy ilustrovat pomocí diagramů na Obr. 4, a.

Rýže. 4.

Levý diagram odpovídá výrazu x + y a pravý NS ·c

Tyto dva obvody jsou v činnosti proti sobě, a to: je-li levý obvod s nebuzenými prvky X, Y otevřený obvod, pak je pravý obvod uzavřen. Pokud se v levém obvodu při spuštění jednoho z prvků obvod uzavře a v pravém se naopak otevře.

Protože podle definice záporného znaménka je funkce x + y inverzí funkce x + y, je zřejmé, že x + y = NS·in.

Pokud jde o násobení: NS · c = NS + c

Odpovídající schémata jsou znázorněna na Obr. 4, b.

Translokativní a kombinační a zákony a distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání (odpovídají podobným zákonům běžné algebry).V případě transformace strukturních vzorců v pořadí sčítání a násobení členů, umísťování členů mimo závorky a rozšiřování závorek se tedy můžete řídit pravidly stanovenými pro práci s běžnými algebraickými výrazy. Distributivní zákon sčítání s ohledem na násobení a zákony inverze jsou specifické pro Booleovu algebru.