Grafické způsoby zobrazení střídavého proudu

Základní fakta z trigonometrie

Učení AC je velmi obtížné, pokud žák nezvládá základní informace z trigonometrie. Proto základní ustanovení trigonometrie, která může být v budoucnu zapotřebí, uvádíme na začátku tohoto článku.

Je známo, že v geometrii je obvyklé, když uvažujeme pravoúhlý trojúhelník, nazývat stranu protilehlou pravému úhlu přeponu. Strany sousedící v pravém úhlu se nazývají nohy. Pravý úhel je 90°. Tak na Obr. 1, přepona je strana označená písmeny O, nohy jsou strany ab a aO.

Na obrázku je vidět, že pravý úhel je 90°, další dva úhly trojúhelníku jsou ostré a jsou označeny písmeny α (alfa) a β (beta).

Pokud změříte strany trojúhelníku v určitém měřítku a vezmete poměr velikosti nohy naproti úhlu α k hodnotě přepony, pak se tento poměr nazývá sinus úhlu α. Sinus úhlu se obvykle označuje sin α. Proto v pravoúhlém trojúhelníku, který uvažujeme, je sinus úhlu:

Pokud poměr vytvoříte tak, že vezmete hodnotu ramene aO, sousedícího s ostrým úhlem α, k přeponě, pak se tento poměr nazývá kosinus úhlu α. Kosinus úhlu se obvykle označuje takto: cos α . Kosinus úhlu a je tedy roven:

Rýže. 1. Pravoúhlý trojúhelník.

Znáte-li sinus a kosinus úhlu α, můžete určit velikost nohou. Vynásobíme-li hodnotu přepony O sin α, dostaneme nohu ab. Vynásobením přepony cos α dostaneme nohu Oa.

Předpokládejme, že úhel alfa nezůstává konstantní, ale postupně se mění a zvětšuje. Když je úhel nula, jeho sinus je také nulový, protože plocha protilehlá úhlu nohy je nulová.

Jak se úhel a zvětšuje, jeho sinus se také začne zvětšovat. Největší hodnota sinusu se získá, když se úhel alfa stane rovným, to znamená, že se bude rovnat 90 °. V tomto případě je sinus roven jednotě. Sinus úhlu tedy může mít nejmenší hodnotu — 0 a největší — 1. Pro všechny mezilehlé hodnoty úhlu je sinus vlastním zlomkem.

Kosinus úhlu bude největší, když je úhel nula. V tomto případě se kosinus rovná jednotě, protože noha sousedící s úhlem a přepona se v tomto případě budou vzájemně shodovat a segmenty, které představují, jsou si navzájem rovné. Když je úhel 90°, jeho kosinus je nula.

Grafické způsoby zobrazení střídavého proudu

Sinusový střídavý proud nebo emf měnící se s časem lze vykreslit jako sinusovou vlnu. Tento typ zobrazení se často používá v elektrotechnice. Spolu se znázorněním střídavého proudu ve formě sinusovky se hojně využívá i znázornění takového proudu ve formě vektorů.

Vektor je veličina, která má určitý význam a směr. Tato hodnota je znázorněna jako úsečka se šipkou na konci. Šipka by měla udávat směr vektoru a segment měřený v určitém měřítku udává velikost vektoru.

Všechny fáze střídavého sinusového proudu v jedné periodě lze znázornit pomocí vektorů působících následovně. Předpokládejme, že počátek vektoru je ve středu kružnice a jeho konec leží na kružnici samotné. Tento vektor rotující proti směru hodinových ručiček provede úplnou otáčku za dobu odpovídající jedné periodě změny proudu.

Nakreslete z bodu definujícího počátek vektoru, tedy ze středu kružnice O, dvě čáry: jednu vodorovnou a druhou svislou, jak je znázorněno na obr.

Pokud pro každou polohu rotujícího vektoru od jeho konce, označené písmenem A, snížíme kolmice na svislou čáru, pak segmenty této čáry od bodu O k základně kolmice a nám poskytnou okamžité hodnoty sinusového střídavého proudu a samotný vektor OA v určitém měřítku znázorňuje amplitudu tohoto proudu, tedy jeho nejvyšší hodnotu. Úsečky Oa podél svislé osy se nazývají průměty vektoru OA na osu y.

Rýže. 2. Obraz změn sinusového proudu pomocí vektoru.

Není obtížné ověřit platnost výše uvedeného provedením následující konstrukce. V blízkosti kruhu na obrázku můžete získat sinusovou vlnu odpovídající změně proměnné emf. v jedné periodě, pokud na vodorovné čáře nakreslíme stupně, které určují fázi změny EMF, a ve svislém směru sestrojíme segmenty rovné velikosti průmětu vektoru OA na svislou osu.Po provedení takové konstrukce pro všechny body kružnice, po které klouže konec vektoru OA, získáme Obr. 3.

Celou periodu aktuální změny a tedy i rotaci vektoru, který ji reprezentuje, lze znázornit nejen ve stupních kruhu, ale také v radiánech.

Úhel jednoho stupně odpovídá 1/360 kružnice popsané jejím vrcholem. Změřit ten či onen úhel ve stupních znamená zjistit, kolikrát je takový elementární úhel obsažen v měřeném úhlu.

Při měření úhlů však můžete místo stupňů použít radiány. V tomto případě je jednotkou, se kterou se porovnává jeden nebo druhý úhel, úhel, kterému odpovídá oblouk, jehož délka se rovná poloměru každého kruhu popsaného vrcholem měřeného úhlu.

Rýže. 3. Konstrukce sinusoidy EMF měnící se podle harmonického zákona.

Celkový úhel odpovídající každému kruhu, měřený ve stupních, je tedy 360 °. Tento úhel, měřený v radiánech, se rovná 2 π — 6,28 radiánům.

Polohu vektoru v daném okamžiku lze odhadnout podle úhlové rychlosti jeho rotace a podle času, který uplynul od začátku rotace, tedy od začátku periody. Označíme-li úhlovou rychlost vektoru písmenem ω (omega) a čas od začátku periody písmenem t, pak úhel natočení vektoru vzhledem k jeho výchozí poloze lze určit jako součin :

Úhel natočení vektoru určuje jeho fázi, která odpovídá jednomu nebo druhému okamžitá hodnota proudu… Proto nám úhel natočení nebo fázový úhel umožňuje odhadnout, jakou okamžitou hodnotu má proud v okamžiku, který nás zajímá. Fázový úhel se často jednoduše nazývá fáze.

Výše bylo ukázáno, že úhel úplného natočení vektoru, vyjádřený v radiánech, je roven 2π. Toto úplné otočení vektoru odpovídá jedné periodě střídavého proudu. Vynásobením úhlové rychlosti ω časem T odpovídajícím jedné periodě získáme úplnou rotaci vektoru střídavého proudu, vyjádřenou v radiánech;

Proto není těžké určit, že úhlová rychlost ω je rovna:

Nahradíme-li periodu T poměrem 1/f, dostaneme:

Úhlová rychlost ω podle tohoto matematického vztahu se často nazývá úhlová frekvence.

Vektorové diagramy

Pokud v obvodu střídavého proudu nepůsobí jeden proud, ale dva nebo více, pak je jejich vzájemný vztah vhodně znázorněn graficky. Grafické znázornění elektrických veličin (proud, emf a napětí) lze provést dvěma způsoby. Jednou z těchto metod je vykreslení sinusoid zobrazujících všechny fáze změny elektrické veličiny během jedné periody. Na takovém obrázku vidíte především, jaký je poměr maximálních hodnot zkoumaných proudů, emf. a stres.

Na Obr. 4 ukazuje dvě sinusoidy, které charakterizují změny dvou různých střídavých proudů. Tyto proudy mají stejnou periodu a jsou ve fázi, ale jejich maximální hodnoty jsou různé.

Rýže. 4. Sinusové proudy ve fázi.

Proud I1 má vyšší amplitudu než proud I2. Proudy nebo napětí však nemusí být vždy ve fázi. Dost často se stává, že jejich fáze jsou různé. V tomto případě se říká, že jsou mimo fázi. Na Obr. 5 ukazuje sinusoidy dvou fázově posunutých proudů.

Rýže. 5. Sinusoidy proudů fázově posunuté o 90°.

Fázový úhel mezi nimi je 90°, což je čtvrtina periody.Obrázek ukazuje, že maximální hodnota proudu I2 nastane o čtvrtinu období dříve než maximální hodnota proudu I1. Proud I2 předbíhá fázi I1 o čtvrtinu periody, tedy o 90°. Stejný vztah mezi proudy lze znázornit pomocí vektorů.

Na Obr. 6 ukazuje dva vektory se stejnými proudy. Pokud si připomeneme, že směr otáčení vektorů je dohodnut proti směru hodinových ručiček, pak je zcela zřejmé, že vektor proudu I2 rotující v konvenčním směru předchází vektor proudu I1. Proud I2 vede k proudu I1. Stejný obrázek ukazuje, že úhel stoupání je 90°. Tento úhel je fázový úhel mezi I1 a I2. Fázový úhel se označuje písmenem φ (phi). Tento způsob zobrazení elektrických veličin pomocí vektorů se nazývá vektorový diagram.

Rýže. 6. Vektorový diagram proudů, fázově posunutý o 90°.

Při kreslení vektorových diagramů není vůbec nutné znázorňovat kružnice, po kterých se konce vektorů posouvají v procesu jejich pomyslné rotace.

Pomocí vektorových diagramů nesmíme zapomenout, že na jednom diagramu lze znázornit pouze elektrické veličiny se stejnou frekvencí, tedy stejnou úhlovou rychlostí otáčení vektorů.