Biot-Savartův zákon a věta o cirkulaci vektoru magnetické indukce

V roce 1820 francouzští vědci Jean-Baptiste Biot a Félix Savard v průběhu společných pokusů o studium magnetických polí stejnosměrných proudů jednoznačně prokázali, že magnetickou indukci stejnosměrného proudu protékajícího vodičem lze považovat za výsledek tzv. obecné působení všech částí tohoto vodiče s proudem. To znamená, že magnetické pole se řídí principem superpozice (princip superpozice polí).

Magnetické pole vytvořené skupinou stejnosměrných vodičů má následující magnetická indukceže jeho hodnota je definována jako vektorový součet magnetických indukcí vytvořených každým vodičem zvlášť. To znamená, že indukci B stejnosměrného vodiče lze spravedlivě reprezentovat vektorovým součtem elementárních indukcí dB náležejících k elementárním úsekům dl uvažovaného vodiče stejnosměrného proudu I.

Izolovat elementární úsek stejnosměrného vodiče je prakticky nereálné, protože DC. vždy zavřeno.Ale můžete změřit celkovou magnetickou indukci vytvořenou drátem, to znamená, že je generovaná všemi elementárními částmi daného drátu.

Biot-Sovarův zákon tedy umožňuje zjistit hodnotu magnetické indukce B úseku (známá délka dl) vodiče, při daném stejnosměrném proudu I, v určité vzdálenosti r od tohoto úseku vodiče a v a určitý směr pozorování z vybraného úseku (nastavený přes sinus úhlu mezi směrem proudu a směrem od úseku vodiče ke zkoumanému bodu v prostoru v blízkosti vodiče):

Experimentálně bylo zjištěno, že směr vektoru magnetické indukce je snadno určen pravidlem šroubu nebo kardanu: pokud se směr translačního pohybu kardanu během jeho otáčení shoduje se směrem stejnosměrného proudu I v drátu, pak směr otáčení kardanové rukojeti určuje směr vektoru magnetické indukce B vytvářeného daným proudem.

Magnetické pole přímého vodiče s proudem, stejně jako ilustrace aplikace Bio-Savartova zákona na něj, jsou znázorněny na obrázku:

Pokud tedy integrujeme, tedy sečteme, příspěvek každého z malých úseků vodiče konstantního proudu k celkovému magnetickému poli, dostaneme vzorec pro zjištění magnetické indukce vodiče proudu o určitém poloměru R z něj. .

Stejným způsobem můžete pomocí Bio-Savardova zákona vypočítat magnetické indukce ze stejnosměrných proudů různých konfigurací a v určitých bodech prostoru, například magnetickou indukci ve středu kruhového obvodu s proudem zjistíme následující vzorec:

Směr vektoru magnetické indukce lze snadno najít podle pravidla gimbalu, pouze se nyní musí gimbal otočit ve směru uzavřeného proudu a dopředný pohyb kardanu ukáže směr vektoru magnetické indukce.

Výpočty s ohledem na magnetické pole lze často zjednodušit, pokud vezmeme v úvahu symetrii konfigurace proudů danou generujícím polem. Zde můžete použít větu o cirkulaci vektoru magnetické indukce (jako Gaussova věta v elektrostatice). Co je «oběh vektoru magnetické indukce»?

Zvolme v prostoru určitou uzavřenou smyčku libovolného tvaru a podmíněně naznačme kladný směr jejího pohybu.Pro každý bod této smyčky lze najít průmět vektoru magnetické indukce B na tečnu ke smyčce v tomto bodě. Potom součet součinů těchto veličin elementárními délkami všech úseků obrysu je cirkulace vektoru magnetické indukce B podél tohoto obrysu:

Prakticky všechny proudy, které zde vytvářejí obecné magnetické pole, mohou buď pronikat do uvažovaného obvodu, nebo některé z nich mohou být mimo něj. Podle cirkulačního teorému: cirkulace vektoru magnetické indukce B stejnosměrných proudů v uzavřené smyčce je číselně rovna součinu magnetické konstanty mu0 součtem všech stejnosměrných proudů, které smyčkou proniknou. Tuto větu formuloval Andre Marie Ampere v roce 1826:

Zvažte obrázek výše. Zde proudy I1 a I2 pronikají do obvodu, ale jsou směrovány různými směry, což znamená, že mají podmíněně odlišné znaky.Kladné znaménko bude mít proud, jehož směr magnetické indukce (podle základního pravidla) se shoduje se směrem bypassu zvoleného obvodu. Pro tuto situaci má cirkulační teorém tvar:

Obecně platí, že věta pro cirkulaci vektoru magnetické indukce B vyplývá z principu superpozice magnetického pole a Biot-Savardova zákona.

Například odvodíme vzorec pro magnetickou indukci stejnosměrného vodiče. Zvolme obrys ve tvaru kruhu, jehož středem tento drát prochází a drát je kolmý k rovině obrysu.

Střed kruhu tedy leží přímo ve středu vodiče, tedy ve vodiči. Protože je obrázek symetrický, vektor B směřuje tečně ke kružnici a jeho průmět na tečnu je tedy všude stejný a rovná se délce vektoru B. Věta o cirkulaci je zapsána takto:

Proto následuje vzorec pro magnetickou indukci přímého vodiče se stejnosměrným proudem (tento vzorec byl již uveden výše). Podobně pomocí cirkulačního teorému lze snadno najít magnetické indukce symetrických stejnosměrných konfigurací, kde je obraz siločar snadno vizualizovatelný.

Jedním z prakticky důležitých příkladů aplikace cirkulačního teorému je nalezení magnetického pole uvnitř toroidního induktoru.

Předpokládejme, že na kartonovém rámu ve tvaru koblihy je navinuta toroidní cívka s počtem závitů N. V této konfiguraci jsou magnetické indukční čáry uzavřeny uvnitř prstence a mají soustředné (v sobě navzájem) kruhy ve tvaru .

Pokud se podíváte ve směru vektoru magnetické indukce podél vnitřní osy koblihy, ukáže se, že proud směřuje všude po směru hodinových ručiček (podle kardanového pravidla). Uvažujme jednu z čar (zobrazeno červeně) magnetické indukce uvnitř cívky a zvolte ji jako kruhovou smyčku o poloměru r. Potom je cirkulační teorém pro daný obvod zapsán takto:

A magnetická indukce pole uvnitř cívky bude rovna:

Pro tenkou toroidní cívku, kde je magnetické pole téměř rovnoměrné po celém svém průřezu, je možné napsat výraz pro magnetickou indukci jako pro nekonečně dlouhý solenoid s přihlédnutím k počtu závitů na jednotku délky — n :

Uvažujme nyní nekonečně dlouhý solenoid, kde je magnetické pole zcela uvnitř. Na vybraný pravoúhlý obrys aplikujeme cirkulační teorém.

Zde bude vektor magnetické indukce dávat nenulovou projekci pouze na stranu 2 (její délka je rovna L). Pomocí parametru n — «počet závitů na jednotku délky» dostaneme takový tvar cirkulačního teorému, který se nakonec redukuje na stejný tvar jako u multitonCoy toroidní cívky: