Číselné soustavy
Číselný systém je soubor pravidel pro reprezentaci čísel pomocí různých číselných znaků. Číselné soustavy se dělí na dva typy: nepoziční a poziční.
V pozičních číselných soustavách nezávisí hodnota každé číslice na pozici, kterou zaujímá, tedy na místě, které zaujímá v množině číslic. V římském číselném systému je pouze sedm číslic: jedna (I), pět (V), deset (X), padesát (L), sto (C), pět set (D), tisíc (M). Pomocí těchto čísel (symbolů) se zbývající čísla zapisují sčítáním a odčítáním. Například IV je zápis čísla 4 (V — I), VI je číslo 6 (V + I) a tak dále. Číslo 666 se v římském systému zapisuje takto: DCLXVI.
Tento zápis je méně vhodný než ten, který v současnosti používáme. Zde je šest napsáno jedním symbolem (VI), šest desítek jiným (LX), šest set třetí (DC). Je velmi obtížné provádět aritmetické operace s čísly zapsanými v římské číselné soustavě. Společnou nevýhodou nepozičních systémů je také složitost reprezentace dostatečně velkých čísel v nich, aby to mělo za následek extrémně těžkopádný zápis.
Nyní zvažte stejné číslo 666 v poziční číselné soustavě. Jednotné znaménko 6 v něm znamená počet jedniček, pokud je na posledním místě, počet desítek, pokud je na předposledním místě, a počet stovek, pokud je na třetím místě od konce. Tento princip zápisu čísel se nazývá poziční (místní). V takové nahrávce každá číslice dostává číselnou hodnotu závislou nejen na jejím stylu, ale také na tom, kde stojí, když je číslo zapsáno.
V pozičním číselném systému může být jakékoli číslo reprezentované jako A = +a1a2a3 … ann-1an reprezentováno jako součet
kde n — konečný počet číslic v obraze čísla, ii číslo i-go číslice, d — základ číselné soustavy, i — pořadové číslo kategorie, dm-i — „váha“ kategorie i-ro . Číslice ai musí splňovat nerovnost 0 <= a <= (d — 1).
Pro desítkový zápis je d = 10 a ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Protože čísla skládající se z jedniček a nul mohou být vnímána jako desítková nebo binární čísla, jsou-li použita společně, je základ číselné soustavy obvykle označen, například (1100)2-binární, (1100)10-desetinný.
V digitálních počítačích jsou široce používány jiné systémy než desítkové: binární, osmičkové a šestnáctkové.
Binární systém
Pro tento systém d = 2 a zde jsou povoleny pouze dvě číslice, tj. ai = 0 nebo 1.
Jakékoli číslo vyjádřené ve dvojkové soustavě je reprezentováno jako součet součinu mocniny základu dvojnásobku dvojkové číslice daného bitu. Například číslo 101,01 lze zapsat takto: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, což odpovídá číslu v desítkové soustavě: 4 + 1 + 0,25 = 5.25.
Ve většině moderních digitálních počítačů se binární číselný systém používá k reprezentaci čísel ve stroji a provádění aritmetických operací na nich.
Binární číselná soustava oproti desítkové umožňuje zjednodušit obvody a obvody aritmetického zařízení a paměťového zařízení a zvýšit spolehlivost počítače. Číslice každého bitu binárního čísla je reprezentována stavy «zapnuto / vypnuto» takových prvků, jako jsou tranzistory, diody, které spolehlivě pracují ve stavech «zapnuto / vypnuto». K nevýhodám dvojkové soustavy patří nutnost převést podle speciálního programu původní digitální data do dvojkové číselné soustavy a výsledky rozhodnutí do desítkové soustavy.
Osmičková číselná soustava
Tento systém má základ d == 8. K vyjádření čísel se používají čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Osmičková číselná soustava se v počítači používá jako pomůcka při přípravě problémů k řešení (v procesu programování), při kontrole provozu stroje a při ladění programu. Tento systém poskytuje kratší reprezentaci čísla než binární systém. Osmičková číselná soustava umožňuje jednoduchý přechod do dvojkové soustavy.
Hexadecimální číselná soustava
Tento systém má základ d = 16. K vyjádření čísel se používá 16 znaků: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F a znaky A … F představují desetinná čísla 10, 11, 12, 13, 14 a 15. Šestnáctkové číslo (1D4F) 18 bude odpovídat desítkovému 7503, protože (1D4F)18 = 1 x 163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 160 = (7503)10
Hexadecimální zápis umožňuje zápis binárních čísel kompaktněji než osmičkový. Najde uplatnění ve vstupních a výstupních zařízeních a zobrazovacích zařízeních číselného řádu některých počítačů.
Binární-desítková číselná soustava
Reprezentace čísel v dvojkové soustavě je následující. Desetinný zápis čísla se bere jako základ a každá jeho číslice (od 0 do 9) je zapsána ve formě čtyřmístného binárního čísla nazývaného tetráda, to znamená, že k reprezentaci není použito ani jedno znaménko. každá číslice desítkové soustavy, ale čtyři.
Například desetinné číslo 647,59 by odpovídalo BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Systém binárních a desítkových čísel se používá jako mezilehlý číselný systém a pro kódování vstupních a výstupních čísel.
Pravidla pro převod jedné číselné soustavy do druhé
Výměna informací mezi počítačovými zařízeními se uskutečňuje především prostřednictvím čísel reprezentovaných v binárním číselném systému. Informace jsou však uživateli prezentovány v číslech v desítkové soustavě a adresování příkazů je prezentováno v osmičkové soustavě. Z toho plyne potřeba přenášet čísla z jednoho systému do druhého v procesu práce s počítačem. K tomu použijte následující obecné pravidlo.
K převodu celého čísla z libovolné číselné soustavy do jiné je nutné toto číslo postupně dělit základem nové soustavy, dokud podíl nebude menší než dělitel. Číslo v novém systému musí být zapsáno ve formě zbytků dělení, počínaje posledním, tedy zprava doleva.
Převeďme například desítkové číslo 1987 na binární:
Desetinné číslo 1987 v binárním formátu je 11111000011, tzn. (1987)10 = (11111000011)2
Při přechodu z libovolné soustavy na desítkovou je číslo reprezentováno jako součet mocnin základu s odpovídajícími koeficienty a následně je vypočtena hodnota součtu.
Převeďme například osmičkové číslo 123 na desítkové: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, tzn. (123)8 = (83)10
Pro přenos zlomkové části čísla z libovolného systému do jiného je nutné provést postupné násobení tohoto zlomku a výsledných zlomkových částí součinu na základě nového číselného systému. Zlomková část čísla v novém systému je tvořena ve formě celých částí výsledných produktů, počínaje první. Proces násobení pokračuje, dokud není vypočítáno číslo s danou přesností.
Převeďme například desetinný zlomek 0,65625 na binární číselnou soustavu:
Protože zlomková část pátého součinu se skládá pouze z nul, další násobení je zbytečné. To znamená, že daná desítka je bez chyby převedena na binární, tzn. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Převod z osmičkové a šestnáctkové soustavy do dvojkové soustavy a naopak není obtížný. Je to proto, že jejich základy (d — 8 a d — 16) odpovídají celým číslům dvou (23 = 8 a 24 = 16).
Pro převod osmičkových nebo šestnáctkových čísel na binární stačí každé jejich číslo nahradit trojciferným nebo čtyřmístným binárním číslem.
Přeložme například osmičkové číslo (571)8 a šestnáctkové číslo (179)16 do dvojkové číselné soustavy.
V obou případech dostaneme stejný výsledek, tzn. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Chcete-li převést číslo z binárně-desítkové na desítkové, musíte nahradit každou tetrádu čísla reprezentovaného v binární-dekadické soustavě číslicí reprezentovanou v desítkové soustavě.
Zapišme například číslo (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 v desítkovém zápisu, tzn. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)